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Die Cartesische Taucherin

Verständnisfrage

Wenn die richtige Beantwortung der folgenden Frage Ihnen keinerlei Schwierigkeiten bereitet, dann haben Sie den Kernpunkt dieses Kapitels bereits verinnerlicht:

Stellen Sie sich vor, Sie sind mit einem Boot auf einen kleinen See hinaus gefahren. Im Boot finden Sie einen großen, schweren Stein. Den würden Sie gerne loswerden. Was liegt Näher, als ihn einfach über Bord zu werfen? Doch halt!

Was passiert mit dem Wasserspiegel im See?
(klicken Sie auf eine der 3 möglichen Antworten)

  • der Wasserspiegel steigt
  • fällt
  • bleibt unverändert

 

Einleitung

Eine sogenannte Cartesische Taucherin (auch als "Cartesianischer Taucher" oder "Flaschenteufel" bezeichnet) ist nichts weiter als ein Hohlkörper, mit einer Flüssigkeit gefüllt, einem eingeschlossenem Luftvolumen und einer Öffnung unterhalb des Flüssigkeitsspiegels.

Damit die Taucherin was taucht, wird sie in ein Gefäß getaucht, z.B. in ein Wasserglas oder -flasche. Durch die erwähnte Öffnung kann Flüssigkeit ein- und auströmen. Dadurch werden Änderungen des eingeschlossenen Luftpolsters ausgeglichen, die sich gemäß dem herrschenden Druck PT einstellen. PT wiederum hängt vom Umgebungsdruck P0 und der Tauchtiefe z ab.

das Archimedische Prinzip

Archimedes,  der alte Sizilianer
Archimedes von Syrakus - geboren 287 v.Chr. in Syrakus (Sizilien), Mathematiker

Dieses kleine Experiment veranschaulicht insbesondere das Archimedische Prinzip, das bereits vor unserer Zeitrechnung vom altgriechischen Gelehrten Archimedes entdeckt wurde. Es besagt:

Die Auftriebskraft auf einen schwimmenden oder vollständig untergetauchten Körper ist gleich der Gewichtskraft des von ihm verdrängten Fluidvolumens.

Die Auftriebskraft entsteht durch Druckdifferenzen auf der Ober- und Unterseite des getauchten Körpers. Sie ist der Schwerkraft entgegengerichtet und macht daher den Körper leichter. Aus diesem Grund ist ja auch Schwimmen eine gute Medizin bei Rückenbeschwerden und Wassergymnastik eine gute Reha-Maßnahme.

Nun gehören ja auch Gase, wie z. B. Luft, zu den Fluiden, so dass man einwerfen könnte, dass jeder Körper auf der Erde prinzipiell immer getaucht ist, nämlich in Luft getaucht. Das ist auch richtig und wenn man es ganz genau nimmt, dann bringt man während einer Schönwetterpeiode mit ausgeprägter Hochdruckwetterlage auch etwas weniger auf die Körperwaage, als in einem Tiefdruckgebiet.

Es muss sich aber nicht unbedingt um starre oder feste Körper handeln. Luftblasen in Wasser, beispielsweise, haben auch einen Auftrieb, genau wie Regentropfen in der Luft. Luftbläschen steigen im Wasser auf. Während des Aufstiegs dehnen sie sich aus, sie werden größer, da der umgebende Druck im Wasser zur Oberfläche hin immer kleiner wird. Dadurch wird ihr Auftrieb immer größer und sie steigen immer schneller auf.

das (interaktive) Experiment

Wir haben in dem Experiment das Tauchbecken mit einer Flüssigkeit gefüllt, die als inkompressibel betrachtet werden kann. Dadurch ist es einfach, den Druck P in Abhängigkeit von der Tiefenkoordinate z zu berechnen. Es ergibt sich nämlich die bekannte Formel PT(z) = P0+ρgz, wobei g für die Fallbeschleunigung und ρ für die Dichte der Flüssigkeit steht.

Der Druck steigt also ausgehend vom Druck P0 an der Oberfläche linear mit zunehmender Tiefe. Bei einem kompressiblen Fluid (wie z.B. Luft) ist die Gleichung komplizierter. Sie wird barometrische Höhenformel genannt, soll uns aber an dieser Stelle nicht weiter interessieren. Wir nehmen den Druck im Luftvolumen als räumlich konstant an. P0 und PT sind also zwar nicht unveränderlich, aber im jeweiligen Volumen an jeder Stelle gleich.

Um das Experiment nun zu erläutern, nehmen wir als Startsituation einmal an, die Taucherin würde im Gefäß an der Wasseroberfläche schwimmen. In dieser Situation sind Auftriebskraft und Gewichtskraft gleich groß. Wenn man dann den Kolben nach unten bewegt, wird das Luftpolster im Gefäß komprimiert und infolgedessen steigt der Druck P0 an. Dadurch steigt auch der Druck an jeder Stelle unterhalb der Wasseroberfläche im Gefäß in gleichem Maße an. Auch PT steigt an. Da Luft kompressibel ist, wird das Luftvolumen in der Taucherin kleiner und Wasser strömt zum Ausgleich in die Taucherin hinein. Dadurch nimmt der Auftrieb zunächst ab, so dass die Taucherin weiter ins Wasser eintaucht. Infolgedessen steigt die verdrängte Wassermenge wieder an, bis der Auftrieb wieder die Gewichtskraft ausgleicht.

Je weiter der Kolben nach unten bewegt wird, desto weiter sinkt die Taucherin in das Wasser ein, bis sie schließlich ganz mit Wasser bedeckt ist und direkt unter der Oberfläche schwimmt. In diesem Zustand, d.h. voll getaucht und schwimmend, befindet sich die Taucherin in einem labilen Gleichgewicht. Wird der Kolben auch nur minimal weiter nach unten bewegt (und damit der Druck P0 minimal erhöht), dann beginnt die Taucherin bis auf den Boden des Gefäßes abzusinken und zwar auch bei festgehaltenem Kolben, also konstantem Druck P0. Während die Taucherin absinkt, wird das eingeschlossene Luftvolumen weiter zusammengedrückt, so dass der Auftrieb immer weiter abnimmt, was die Taucherin immer schneller absinken lässt.