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2D-Strömungen

Einleitung

skizze

Wir betrachten die laminare Strömung eines inkrompressiblen Fluids zwischen zwei Platten. Nehmen wir an, es handelt sich um ebene und sehr, sehr große Platten mit einem sehr kleinen Abstand zueinander. Dann wird eine Strömung dazwischen eben, d.h. zweidimensional sein. Die Geschwindigkeit der oberen Platte wird mit u0 bezeichnet. Wir setzen zur Vereinfachung mal voraus, dass die Geschwindigkeit zeitlich konstant ist. Wir nehmen also die Strömung als stationär an. Die untere Platte ist fixiert und bewegt sich nicht.

Aus der Kontinuitäts- und den Navier-Stokes-Gleichungen folgt, dass die Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung räumlich konstant ist und nur von dem Druckgradient dp/dx und der Plattengeschwindigkeit u0 abhängt:
u (y)

Mit dem Newton-Schubspannungsansatz tau1
folgt für die Schubspannung
tau2.

Mit dem Volumenstrom v
kann die mittlere Strömungsgeschwindigkeit bestimmt werden aus
um.

Die ausführlichen Herleitungen finden Sie im Skript in Kapitel 7.2.

Fallunterscheidung

Man kann folgende 4 Fälle unterscheiden:

  1. Ebene Couette-Strömung (einfache Scherströmung): couette.
    Daraus ergibt sich ein lineares Geschwindigkeitsprofil und eine konstante Schubspannungsverteilung. Die Couette-Strömung beschreibt zum Beispiel die Strömung im Couette-Viskosimeter (siehe unten).
  2. Ebene Poiseuille-Strömung (ebene Kanalströmung): poiseuille.
    Dies führt zu einer parabolischen Geschwindigkeitsverteilung und zu einer linearen Schubspannungsverteilung. Mit den Annahmen der Poiseuille-Strömung kann man Spaltströmungen beschreiben, beispielsweise für die Berechnung von Leckströmungen durch Risse.
  3. Strömung mit positivem Druckgradienten: fall3.
    Ist der Druckgradient ausreichend groß, kann die Schleppwirkung der oberen Platte eine Rückströmung im unteren Bereich nicht verhindern.
  4. Strömung mit negativem Druckgradienten: fall4.
    Die Wirkung des Druckgradienten unterstützt die Schleppwirkung der oberen bewegten Platte. In dieser Konfiguration treten die höchsten Strömungsgeschwindigkeiten auf.

Zu diesen vier Fällen können Sie sich mit Hilfe des folgenden Java-Applets Geschwindigkeits- und Schubspannungsverteilungen anzeigen lassen

Anwendung

Couette Viskosimeter
Couette Viskosimeter von Oben

Couette-Viskosimeter

Das Couette-Viskosimeter (auch Rotationsviskosimeter) dient, wie jedes Viskosimeter, der Bestimmung der Zähigkeit von Fluiden. Ende des 19. Jahrhunderts wurde das erste funktionierende Rotationsviskosimeter konstruiert und zwar von Maurice Frédéric Alfred Couette. Nach ihm ist dann auch die Strömung benannt worden, die sich in dem schmalen Spalt zwischen innerem und äußerem Zylinder einstellt.

Funktionsprinzip

Ein Hohlzylinder (Rotor) dreht sich um einen zweiten, feststehenden Zylinder (Stator). In dem Spalt zwischen den beiden Zylindern befindet sich die zu untersuchende Flüssigkeit. Aufgrund der Relativbewegung von Rotor und Stator bildet sich in dem Spalt eine Couette-Strömung aus, die ein Drehmoment auf den Stator überträgt. Dieses Moment kann mit Hilfe eines Torsionsdrahtes gemessen werden, um so die Zähigkeit des Fluides zu bestimmen.